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\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[spanish]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\author{Carlos S. Galindo Jiménez}
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\title{FLA - Tarea 5}
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\begin{document}
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\maketitle
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Las reglas que componen $E$ son las siguientes:
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\begin{align}
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&f(0) \rightarrow 0 \\
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&g(0) \rightarrow 0 \\
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&f(g(X)) \rightarrow g(X) \\
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&(X = X) \rightarrow \texttt{True}
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\end{align}
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Para diferenciar las variables, a cada nivel de profundidad cada variable $A$ se renombra a $A_i$, donde $i$ es el nivel actual de profundidad. El término inicial es:
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$$f(Z)=Z$$
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Desde aquí se pueden realizar varias combinaciones, con la siguiente nomenclatura:
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\begin{itemize}
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\item $t\rightsquigarrow s$ es un paso de narrowing
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\item $p$ es la posición del redex, y no puede ser una variable
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\item $E_i: l_i \rightarrow r_i$ es la regla i-ésima
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\item $\sigma$ es el $mgu(t|_p,l_i)$
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\end{itemize}
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$$s=(t[r_i]_p)\sigma$$
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% TODO: p no puede ser la de una variable
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% TODO: un final tiene que acabar en true, no en A = A
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| l | l | l | l | c |} \hline
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n & i & p & $\sigma$ & $s$ \\ \hline
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1 & 1 & 1 & $Z/0$ & $0 = 0$ \\
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2 & 2 & 1 & $\nexists$ & - \\
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3 & 3 & 1 & $Z/g(X_1)$ & $g(X_1)=g(X_1)$ \\ \hline \hline
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1.1 & 4 & $\wedge$ & $X/0$ & \texttt{True} \\
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3.1 & 4 & $\wedge$ & $X/g(X_1)$ & \texttt{True} \\
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3.2 & 2 & 1 & $X_1/0$ & $0=g(0)$ \\
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3.3 & 2 & 2 & $X_1/0$ & $g(0)=0$ \\ \hline \hline
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3.2.1 & 2 & 2 & $\emptyset$ & $0=0$ \\
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3.2.1.1 & 4 & $\wedge$ & $X/0$ & \texttt{True} \\
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3.3.1 & 2 & 1 & $\emptyset$ & $0=0$ \\
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3.3.1.1 & 4 & $\wedge$ & $X/0$ & \texttt{True} \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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De los 4 finales obtenidos (1.1, 3.1, 3.2.1.1 y 3.3.1.1) podemos obtener los cuatro unificadores:
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\begin{description}
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\item [1.1] $\sigma_1=\{Z/0\}$
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\item [3.1] $\sigma_2=\{Z/g(X_1)\}$
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\item [3.2.1.1] $\sigma_3=\{Z/g(0)\}$
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\item [3.3.1.1] $\sigma_4=\{Z/g(0)\}$
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\end{description}
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\end{document}
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